رفتن به محتوا رفتن به پابرگ

فرمالیسم مكانيک كوآنتوم (قسمت 2)

فرمالیسم مكانيک كوآنتوم (قسمت دوم)

1.7 آزمایش هفتم(تک شکاف و دوشکاف) یک ستاپ آزمایش را در نظر بگیرید که در سمت چپ یک منبع تابش الکترون قرار دارد و در وسط یک پرده وجود دارد که دارای دو شکاف بر روی خود است که یکی در بالای پرده و یکی در پایین پرده قرار دارد و در سمت راست نیز یک صفحه فلورسنت شبیه به یک صفحه تلوزیون وجود دارد که با برخورد الکترون‌ها به نقاط مختلفش، آن نقاط روشن می‌شوند(این صفحه فلورسنت نقش یک وسیله اندازه گیریِ مکان الکترونها را بازی میکند). حال فرض می‌کنیم که در ابتدا شکاف بالایی بسته باشد در این حالت اکثر الکترون‌هایی که یک به یک از منبع تولید الکترون شلیک شده اند با برخورد به پرده متوقف می‌شوند ولی برخی از آنها از شکاف پایینی عبور می‌کنند و بر روی نقاط مختلف موجود در صفحه فلورسنت فرود می‌آیند. انجام این آزمایش نشان می‌دهد که آمار این فرودها(یعنی اینکه چه تعداد فرود در نواحی مختلف از صفحه فلورسنت دیده میشوند) به شکل تصویر اول خواهد بود.

1.7 آزمایش هفتم(تک شکاف و دوشکاف)

 یک ستاپ آزمایش را در نظر بگیرید که در سمت چپ یک منبع تابش الکترون قرار دارد و در وسط یک پرده وجود دارد که دارای دو شکاف بر روی خود است که یکی در بالای پرده و یکی در پایین پرده قرار دارد. و در سمت راست نیز یک صفحه فلورسنت شبیه به یک صفحه تلوزیون وجود دارد که با برخورد الکترون‌ها به نقاط مختلفش، آن نقاط روشن می‌شوند (این صفحه فلورسنت نقش یک وسیله اندازه گیریِ مکان الکترونها را بازی میکند). حال فرض می‌کنیم که در ابتدا شکاف بالایی بسته باشد. در این حالت اکثر الکترون‌هایی که یک به یک از منبع تولید الکترون شلیک شده اند با برخورد به پرده متوقف می‌شوند ولی برخی از آنها از شکاف پایینی عبور می‌کنند و بر روی نقاط مختلف موجود در صفحه فلورسنت فرود می‌آیند. انجام این آزمایش نشان می‌دهد که آمار این فرودها (یعنی اینکه چه تعداد فرود در نواحی مختلف از صفحه فلورسنت دیده میشوند) به شکل تصویر مقابل خواهد بود.

اگر این آزمایش را برای حالتی که شکاف بالایی باز و شکاف پایینی بسته باشد انجام بدهیم آمار این فرودها را به شکل تصویر راست خواهیم دید که به این دو تصویر، طرح دیفرکشن گفته میشود. حال سوال اینجاست که اگر در این آزمایش هر دو شکاف بالا و پایین باز باشند آمار فرود چگونه خواهد بود؟ با توجه به اینکه الکترون‌ها دانه به دانه شلیک می‌شوند نتیجه گیری ما این است که الکترون‌هایی که بر روی صفحه فلورسنت فرود می‌آیند یا از شکاف پایینی عبور کرده‌اند و یا از شکاف بالایی عبور کردند. پس آنهایی که از شکاف پایینی عبور کرده‌اند یک آمار فرود مبتنی بر تصویر بالا را به نمایش خواهند گذاشت. و آنهایی که از شکاف بالایی عبور کرده‌اند یک آمار فرود مبتنی بر تصویر راست را به نمایش خواهند گذاشت. پس در حالتیکه هر دو شکاف باز باشند آمار فرود مورد انتظار ما باید جمع دو آمار اول و دوم باشد یعنی باید تصویر وسط را به عنوان نتیجه آزمایش ببینیم. اما سورپرایز این است که چنین آماری را مشاهده نخواهیم کرد. یعنی نتیجه آمار بر روی صفحه فلورسنت جمع آماری دو آمار اول و دوم نخواهد بود بلکه تصویر چپ را مشاهده خواهیم کرد که به ان طرح تداخلی میگویند.

پس انجام آزمایش در حالتیکه هر دو شکاف باز باشند نشان میدهد که ما در اینجا با یک وضعیت عجیب و غریبی روبرو هستیم جوری که هیچکدام از گزاره های زیر برقرار نیستند:
–الکترون‌ها از شکاف پایینی عبور کرده اند
–الکترون‌ها از شکاف پایینی عبور نکرده اند
–الکترون‌ها از شکاف بالایی عبور کرده اند
–الکترون‌ها از شکاف بالایی عبور نکرده اند
–الکترون‌ها از دو شکاف همزمان عبور کرده اند
چگونه ممکن است که هیچ یک از حالات فوق برقرار نباشند ولی همچنان الکترون‌ها بر روی صفحه فلورسنت ظاهر شوند؟! جواب کوانتوم مکانیک به این سوال این است: الکترون‌ها در یک سوپرپوزیشن از عبور از شکاف بالایی و عبور از شکاف پایینی قرار دارند.

1.8 عدم قطعیت و incompatibility و احتمال و تابع موج

در آزمایش‌های چهارم و پنجم دیده‌ایم که اگر یک الکترون سفید را به درون یک جعبه فرم پذیری وارد کنیم آنگاه در مورد الکترون خارج شونده از این جعبه هیچ یک از گزینه‌های زیر معتبر نیستند:
–الکترون از کانال s خارج شده
–الکترون از کانال s خارج نشده
–الکترون از کانال h خارج شده
–الکترون از کانال h خارج نشده
–الکترون از دو کانال s و h همزمان خارج شده

یعنی اگر یک الکترون سفید به یک جعبه فرم پذیری وارد شود و سپس از آن خارج شود این الکترون نه نرم است، نه نرم نیست، نه سخت است، نه سخت نیست، همزمان سخت-نرم نیز نیست بلکه این الکترون سفید در سوپرپوزیشنی از نرم بودن و سخت بودن قرار دارد و به طریق مشابه اگر یک الکترون نرم به یک جعبه رنگ وارد شود و سپس از آن خارج شود این الکترون نه سفید است، نه سفید نیست، نه سیاه است، نه سیاه نیست، همزمان سیاه-سفید نیز نیست بلکه این الکترون نرم در سوپرپوزیشنی از سفید بودن و سیاه بودن قرار دارد. پس یک الکترون در صورت داشتن مقدار معینی از ویژگی رنگ، دارای مقدار معینی از ویژگی فرم پذیری نخواهد بود و نیز صورت داشتن مقدار معینی از ویژگی فرم پذیری، دارای مقدار معینی از ویژگی رنگ نخواهد بود.
پس مثلا ما با دانستن رنگ یک الکترون قادر نخواهیم بود که تشخیص دهیم فرم پذیری آن در چه وضعیتی قرار دارد یعنی آگاه بودن همزمان از مقدار دو ویژگی رنگ و فرم پذیری یک الکترون امکان پذیر نیست(اصل عدم قطعیت)
★ کوانتوم مکانیک مفهوم عجیب سوپرپوزیشن را به دو شکل زیر بیان میکند که هم ارزند:
1. دو ویژگی رنگ و فرم پذیری یک الکترون نسبت به یکدیگر incompatible(ناسازگار) هستند جوریکه دانستن مقداری قطعی از یک ویژگی باعث ایجاد عدم قطعیت در دانستن مقدار ویژگی دیگر خواهد شد.
2. پیش بینیِ خروجیِ اندازه گیریِ ویژگیِ فرم پذیریِ یک الکترون سفید یک امر احتمالاتی است.

نکته بسیار مهم

نکته ای بسیار مهم و حیاتی و ریشه ای در اینجا وجود دارد که ستون فقرات کوانتوم مکانیک را تشکیل می‌دهد و آن اینست که بر خلاف مطالعات کلاسیک به دلیل وجود مفهوم سوپرپوزیشن در کوانتوم مکانیک، احتمالات دارای مقادیری معین و دترمینستیکی نیستند. یعنی مثلا در مورد یک الکترون سفید ما دارای دو مقدار نرم و سخت برای خروجی احتمالاتی اندازه گیری فرم پذیری آن الکترون نیستیم بلکه این احتمال سوپرپوزیشنی از دو state نرم و سخت است و فقط و فقط هنگامی به یک مقدار معین(نرم یا سخت) خواهیم رسید که همانند شرایط آزمایش چهارم و پنجم اقدام به اندازه گیری ویژگی فرم پذیری آن الکترون بنماییم که نتیجتا بلافاصله خروجیِ اندازه گیریِ ویژگیِ رنگِ آن الکترون یک مساله احتمالاتی خواهد شد که در این حالت ما دارای دو مقدار سیاه و سفید برای این احتمال نیستیم بلکه این احتمال سوپرپوزیشنی از دو state سیاه و سفید است یعنی اصطلاحا میگوییم که این احتمال به شکل یک تابع موج روی دو state سیاه و سفید است ولی این مطلب به هیچ عنوان به این معنی نیست که این تابع موج دارای دو مقدار سیاه و سفید است بلکه به این معنی است که این تابع موج سوپرپوزیشنی از دو state سیاه و سفید است یعنی:

به همین منوال اگر تابع موج یک الکترون بیانگر ویژگی مکان الکترون بر روی محور xها با state های 1 و 2 و 3 باشد این مساله به معنای این نیست که این الکترون در مکانهای x=1 و یا x=2 و یا x=3  حضور دارد. و یا به این معنی نیست که این الکترون در همه این 3 مکان به شکل همزمان حضور دارد بلکه به معنای این است که این الکترون در سوپرپوزیشنی از state های 1 و 2 و 3 قرار دارد یعنی هیچیک از گزاره های زیر برقرار نیستند:
الکترون در مکان x=1 است
الکترون در مکان x=1 نیست
الکترون در مکان x=2 است
الکترون در مکان x=2 نیست
الکترون در مکان x=3 است
الکترون در مکان x=3 نیست
الکترون به طور همزمان در مکانهای x=1 و x=2 و x=3 است
به همین جهت بیان میشود که الکترون تا پیش از اندازه گیری ویژگی پوزیشنش دارای مکان نیست و صحبت از داشتن مکان برای آن بی معنی است بلکه فقط پس از عمل اندازه گیری ویژگی پوزیشنش، مکان برای الکترون معنی پیدا میکند. ولی تا پیش از عمل اندازه گیری پوزیشنش این الکترون در سوپرپوزیشنی از state های مختلف است که جناب هایزنبرگ(یکی از دو بنیانگذار کوانتوم مکانیک) این وضعیت غیرقابل فهم از ویژگی های یک کوانتوم را “مفهومی عجیب مابین احتمال و واقعیت” می‌نامیدند که در مورد همه ویژگی های یک کوانتوم(پوزیشن، مومنتوم، انرژی، انگولارمومنتوم، اسپین، تندی) برقرار است. و از آنجائیکه یک کوانتوم و یا هر ماهیت میکروسکوپیک و یا ماکروسکوپیک دیگر فقط با ویژگی هایش قابل تعریف است بنابراین یک کوانتوم (مثلا الکترون) تا پیش از اندازه گیری یک ماهیت فیزیکال محسوب نمیشود( نه موج است، نه ذره، نه موج‐ذره، نه ماهیتی فیزیکی) بلکه مفهومی عجیب مابین احتمال و واقعیت است که اصطلاحا یک توزیع احتمال و یا یک تابع موج نامیده می‌شود.

2. بیان ریاضیاتی رفتار عجیب کوانتوم ها

الگوریتمی ریاضیاتی برای پیش‌بینی این رفتار غیر قابل درک کوانتوم ها (مثل الکترون) وجود دارد که کوانتوم مکانیک نامیده میشود. این الگوریتم در سال 1925 توسط جنابان هایزنبرگ و شرودینگر مطرح شد و تشریحی ریاضیاتی-مشاهداتی برای مفهومی به نام تفسیر کپنهاگی بود که در سال 1920 توسط جناب بور ارائه شده بود و بیان میکرد:
یک کوانتوم در یک state معین وجود ندارد بلکه در وضعیتی از همه state هایی که بتوانند در قالب مجموعه ای از احتمالات برای آن کوانتوم تعریف شوند وجود دارد و تنها هنگامی که ما یکی از مشخصات آن کوانتوم را اندازه بگیریم یکی از آن احتمالات در قالب یک مقدار خود را نشان خواهد داد که همان مقداری است که ما به‌ عنوان خروجی عمل اندازه گیری مشاهده میکنیم. و از آنجاییکه در هر بار عمل اندازه گیری، این مقدار ممکن است از یک state متفاوت ناشی شود پس یک کوانتوم تا پیش از مشاهده و اندازه گیری در سوپرپوزیشنی از state های مختلف قرار دارد.
چون رویکرد و استراتژی تفسیر کپنهاگی شالوده ریاضیاتی و فونداسیون تفکرات و ایده های کوانتوم مکانیک را تشکیل می‌دهد، تفسیر کپنهاگی را تفسیر استاندارد کوانتوم مکانیک مینامند.

2.1 بردارها و state ها و فضاهای برداری

 یک سیستم مختصات که دارای یک مبدا است یک فضای هندسی را مهیا میکند که یک نقطه در این فضا به شکل یک بردار نمایش میابد که این بردار دارای اندازه و جهت است. این فضا دارای بینهایت نقطه هندسی است بنابراین دارای بینهایت بردار است که مجموعه این بردارها در چنین فضای هندسی، فضای برداری نامیده میشود. در کوانتوم مکانیک یک بردار را با سمبل < | نشان میدهیم مثلا بردار A به شکل زیر نمایش داده میشود:

|A>

2.1.1 بردارها را میتوان با یکدیگر جمع کرد که نتیجه این عمل، برداری دیگر خواهد بود مثلا:

|A> + |B> = |C>

★ جمع دو بردار در یک فضای برداری، برداری دیگر در همان فضای برداری است. این مساله در کوانتوم مکانیک بسیار مهم است زیرا در کوانتوم مکانیک، بردارها بیانگر وضعیت های فیزیکی(state های فیزیکی) یک سیستم هستند بنابراین جمع بردارها با سوپرپوزیشنِ state های فیزیکی آن سیستم کوانتومی مرتبط است مثلا همانطور که دیده ایم وضعیت سفید، سوپرپوزیشنی از وضعیت های نرم و سخت است.

2.1.2 عملیات ضرب بر روی بردارها قابل تعریف است
★نتیجه ضرب یک عدد در یک بردار، یک بردار خواهد بود

5|A>

رابطه فوق به این معنی است که جهت بردار <A| حفظ می‌شود ولی طولش 5 برابر میشود پس داریم:


5|A> = |A> + |A> + |A> + |A> + |A>

★اگر بردار <A| المنتی از یک فضای برداری باشد آنگاه حاصلضرب آن در یک عدد نیز المنتی از همان فضای برداری خواهد بود
★نتیجه ضرب یک بردار در یک بردار، یک عدد خواهد بود. حاصلضرب دو بردار <A| و <B| را به شکل <A|B> نمایش میدهیم که مقدارش برابر است با طول بردار <A| ضربدر طول بردار <B| ضربدر کسینوس زاویه بین این دو بردار
★ حاصلضرب بردار <A| در مجموع دو بردار <B| و <C| برابر است با ضرب بردار <A| در بردار <B| بعلاوه ضرب بردار <A| در بردار <C| :


<A||B> + |C>> = <A|B> + <A|C>

2.1.3 دو بردار عمود بر یکدیگر را orthogonal می‌نامند. نتیجه ضرب چنین بردارهایی صفر است زیرا کسینوس 90 درجه برابر با صفر است:


<A|B> = 0

2.1.4 بنا به تعریف، تعداد ابعاد یک فضای برداری برابر است با حداکثر تعداد بردارهایی که بتوانند از درون آن انتخاب شوند(مثلا n عدد) جوریکه ضرب هر دو بردار غیر همنام صفر باشد یعنی این n عدد بردار بر هم عمود باشند:


|A₁>, |A₂>, …..|Aₙ>
<Aᵢ|Aⱼ> = 0
i≠j

پس تعداد ابعاد یک فضای برداری برابر است با تعداد جهات متعامدی که بردارها می‌توانند خود را در آن ارنج کنند مثلا در یک فضای دو بعدی، به ازای هر بردار دلخواه فقط یک بردار دیگر می‌توان یافت که بر بردار دلخواهمان عمود باشد پس در این فضای فضای برداری دارای حداکثر دو عدد جهت متعامد هستیم پس فضای برداری واقع شده در یک فضای دو بُعدی، دارای دو بُعد است پس میتوان نتیجه گرفت که تعداد ابعاد یک فضای برداری برابر است با تعداد ابعاد فضایی که در آن تعریف شده است.

 

2.1.5 در یک فضای n بُعدی مجموعه ای از n عدد بردار که همگی بر هم عمود باشند و طولشان نیز 1 باشد را بردارهای یکه آن فضای n بُعدی مینامند. این بردارها orthonormal نامیده می‌شوند که این کلمه به معنی متعامد–طول1 است یعنی از ترکیب دو کلمه orthogonal به معنای متعامد و norm-1 به معنای طول1 تشکیل شده است.
★ در یک فضای n بُعدی، یک بردار را می‌توان بر حسب ضریب های بسط و مجموعه ای دلخواه از بردارهای یکه بسط داد:

∣B> = b₁∣e₁> + b₂∣e₂> + ….bₙ∣eₙ>

که bᵢ یک عدد است و ضریب بسط نامیده میشود و برابر است با:

bᵢ =<B|eᵢ>

مثلا تصویر پایین راست بردار <B| را در یک فضای دو بعدی بسط داده است
★ در فضاهای بیش از یک بُعد، تعداد بینهایت بردارهای یکه متعامد یافت میشود که میتوان یک بردار دلخواه را با استفاده از آنها بسط داد مثلا تصویر پایین چپ دو بسط از بردار <B| را بر حسب دو مجموعه متفاوت از مجموعه بردارهای یکه واقع در یک فضای دو بُعدی نمایش میدهد که رابطه زیر در مورد این دو بسط برقرار است:

∣B> = b₁∣e₁> + b₂∣e₂> = b’₁∣e’₁> + b’₂∣ e’₂>

 

همانطور که در تصویر پایین چپ میبینید، در طی تغییر انتخاب مجموعه بردارهای یکه اندازه ضریب های بسط تغییر میکنند یعنی مقدار b₁ با مقدار b’₁ و نیز مقدار b₂ با مقدار b’₂ متفاوت است اما مقدار دو رابطه زیر یکسان و ناورداست:

b₁∣e₁> + b₂∣e₂>
b’₁∣e’₁> + b’₂∣ e’₂>

★ جمع دو بردار را می‌توان بر حسب ضرایب بسطشان و مجموعه ای دلخواه از بردارهای یکه نمایش داد مثلا در یک فضای دو بعدی جمع دو بردار <A| و <B| :

∣A> + ∣B> = (a₁ + b₁)∣e₁> + (a₂ + b₂)∣e₂>

★ضرب دو بردار را میتوان بر حسب ضرایب بسطشان ارائه کرد مثلا ضرب دو بردار <A| و <B| در یک فضای دو بُعدی:

<A|B> = a₁b₁ + a₂b₂

★با انتخاب مجموعه ای دلخواه از بردارهای یکه موجود در یک فضای n بُعدی متعاقبا در مبحث “جبر خطی” یک بردار از این فضای n بُعدی توسط n عدد ضرایب بسطش نمایندگی میشود که این نمایش را بردار ستونی مینامند که یک ماتریکس ستونی با n عدد سطر است و ضرایب بسط در سطرهای این ماتریکس درج میشوند مثلا در یک فضای سه بُعدی بردار ستونی زیر بردار سه بُعدی <A| را نمایندگی میکند:

این بردار ستونی، بردار <A| را نمایندگی میکند که برای بردار <A| معادلات زیر برقرار هستند:

<A|e₁> = 2          (زیرا   a₁=2)
<A|e₂> = 4          (زیرا a₂=4)
<A|e₃> = –1/2    (زیرا a₃=–1/2)

★ در این بردار ستونی، بردار <A| که یک بردار سه بُعدی است با سه عدد (سه معادله) نمایندگی شده است
★در بردار ستونی تعداد سطرها بیانگر تعداد ابعاد فضای برداری است که این بردار ستونی در آن تعریف شده است.

 طول یک بردار را norm آن بردار می‌نامند مثلا norm بردار <A| را به شکل |A| نمایش میدهیم. نرم یک بردار  برابر است با مجذور عدد حاصل از رابطه <A|A> زیرا:

<A|A> = (A طول بردار)×(A طول بردار)×cosθ
           = (A طول بردار)²
⇒A طول بردار = √(<A|A>)

اما از طرف دیگر رابطه زیر را در یک فضای دو بُعدی داریم:

<A|B> = a₁b₁ + a₂b₂
⇒ <A|A> = a₁² + a₂²
⇒ √(<A|A>) = √(a₁² + a₂²)

بنابراین نهایتا از مقایسه دو رابطه اخیر داریم:

A طول بردار = √(a₁² + a₂²)

یعنی norm یک بردار در یک فضای دو بُعدی برابر است با جذرِ مجموعِ مجذور ضریب های بسط آن بردار
★یک بردار norm-1 برداری است که طول آن 1 است
★ به هنگام تغییر در انتخاب مجموعه بردارهای یکه(مثلا دو مجموعه برای انتخاب در تصویر بالا چپ وجود دارند که عبارتند از eᵢ و e’ᵢ)، اندازه ضریب های بسط تغییر میکنند ولی طول بردار ناوردا خواهد بود مثلا:

B طول بردار = √(b₁² + b₂²) = √(b′₁² + b′₂²)

2.2 اپراتورها

اپراتورها یا همان عملگرها مکانیزمی هستند برای ایجاد بردارهایی جدید از بردارهای موجودی که در دست داریم.
★ یک اپراتور عمل کننده بر روی یک فضای برداری، همه بردارهای موجود در آن فضا را به بردارهای دیگر تبدیل می‌کند یعنی یک فضای برداری به همان فضای برداری mapping میشود.
★ یک اپراتور به نام O که بر روی بردار <A| عمل کند را به شکل <O|A نمایش میدهیم
★ رابطه زیر را در نظر بگیرید:

O|A> = |A’>

بر اساس  تعریفی که از عملکرد یک اپراتور ارائه دادیم عبارت فوق این معنی را دارد:
اپراتور O بر روی بردار <A| که در یک فضای برداری واقع شده است عمل میکند و نتیجه این فرآیند بردار <‘A| خواهد بود که در همان فضای برداری واقع شده است
★ می‌توانیم اپراتوری به نام اپراتور یکه معرفی کنیم که چنین تعریف شود:
اپراتوری یکه به نام O, یک بردار را در 1 ضرب میکند تا بتواند آن بردار را به خودش تبدیل کند. در اینصورت این پروسه را اینگونه نمایش میدهیم:

O|A> = |A’> = |A>

★ می‌توانیم یک اپراتور را اینگونه تعریف کنیم:
اپراتور O, یک بردار را در عدد 5 ضرب میکند تا طول آن بردار را 5 برابر افزایش دهد. در اینصورت این پروسه را اینگونه نمایش میدهیم:

O|A> = |A’> = 5|A>

★ می‌توانیم اپراتوری به نام O معرفی کنیم که بردارهای واقع در یک فضای برداری را حول یک بردار خاص به اندازه 90 درجه ساعتگرد بچرخاند. مثلا در تصویر مقابل فرض کنید که بردار <E| عمود بر صفحه به سمت چشمان شما بیرون زده باشد آنگاه اپراتور O اقدام به چرخاندن دو بردار <A| و <B| به اندازه 90 درجه ساعتگرد حول بردار <E| خواهد کرد.
★ می‌توانیم اپراتوری به نام O معرفی کنیم که عمل mapping بردارهای واقع در یک فضای برداری را به بردار <A| به انجام میرساند:

O|B> = |A>

2.2.1 اپراتورهای خطی
این نوع اپراتورهای خاص، نقش حیاتی در کوانتوم مکانیک بازی می‌کنند. بنا به تعریف یک اپراتور خطی دارای دو مشخصه زیر است:

O(|A> + |B>) = O|A> + O|B>
O(n|A>) = n(O|A>)
* The n is a number

رابطه اول میگوید:
اگر اپراتور O را بر یک بردار(این بردار جمع دو بردار <A| و <B| است) اعمال کنیم آنگاه نتیجه این عمل، بردار جدیدی است که برابر است با مجموع بردار جدیدی که از اعمال اپراتور O بر روی بردار <A| حاصل میشود و بردار جدیدی که از اعمال اپراتور O بر روی بردار <B| حاصل میشود.
رابطه دوم میگوید:
بردار جدیدی که از اعمال اپراتور O بر روی برداری که از ضرب عدد n در بردار <A| ایجاد شده حاصل میشود برابر و معادل است با بردار جدیدی که از حاصلضرب عدد n در بردار جدیدی که از اعمال اپراتور O بر روی بردار<A| ایجاد شده است حاصل میشود.
★ از بین چهار مثالی که برای معرفی اپراتورها در بخش قبل ارائه دادیم، سه مثال اول اپراتورهای خطی هستند ولی مثال چهارم یک اپراتور غیر خطی است.

همانطور که قبلا دیدیم، یک بردار n بُعدی را می‌توان توسط n عدد(n معادله) به شکل یک بردار ستونی نمایش داد. به طریق مشابه می‌توان در یک فضای برداری n بُعدی، یک اپراتور خطی را با n² عدد(n² معادله) نمایش داد که این نمایش در درون یک ماتریکس انجام میشود مثلا در یک فضای برداری دو بُعدی یک اپراتور خطی را با 4 عدد(4 معادله) در یک ماتریکس 2×2 نمایش میدهیم و چنین اپراتوری را یک اپراتور دو بُعدی مینامیم.

این Oᵢⱼ ها عدد هستند و اینگونه تعریف میشوند:

Oᵢⱼ = <eᵢ|O|eⱼ>

که معنایش چنین است:
عدد Oᵢⱼ برابر است با حاصلضرب بردار <O|eⱼ در بردار <eᵢ|
پس این Oᵢⱼ ها عدد هستند زیرا میدانیم که نتیجه ضرب یک بردار در یک بردار، یک عدد است

★در اینجا بردار <eₖ| یک مجموعه دلخواه از مجموعه بردارهای یکه موجود در فضای دو بُعدی است. مجموعه بردار یکه <eₖ| در واقع همان مجموعه بردار یکه <eᵢ| است که در میانه های این درسنامه دیده بودیم ولی در اینجا آن را به شکل <eᵢ| معرفی نکردم تا اندیس i موجود در آن با اندیس i موجود در Oᵢⱼ اشتباه گرفته نشود.
★ به ماتریکس فوق الذکر، ماتریکس اپراتور اطلاق میشود.
★ برای ضرب ماتریکس های اپراتور در بردارهای ستونی قانونی وجود دارد که به این شکل بیان میشود:

 

می‌بینیم که حاصل چنین ضربی یک بردار ستونی است پس این قانون چنین است:
حاصلضرب یک ماتریکس اپراتور در یک بردار ستونی، یک بردار ستونی جدید خواهد بود
★ در یک فضای n بُعدی، یک اپراتور خطی فارغ از اینکه تحت چه مجموعه ای دلخواه از بردارهای یکه معرفی شده باشد این اپراتور همچنان توسط n² معادله
(n² تا Oᵢⱼ) نمایش میابد.

★ برای محاسبه تاثیر یک اپراتور خطی بر روی یک بردار مثلا به نام <A| ماتریکس اپراتور را در بردار ستونی ای که بردار <A| را نمایندگی میکند ضرب میکنیم مثلا در یک فضای دو بُعدی، نتیجه محاسبه تاثیر اپراتور خطی O بر روی بردار <A| یک بردار خواهد بود به نام <‘A| که به شکل تصویر زیر محاسبه میشود. الگوریتم این محاسبه به قرار زیر است:
1. ابتدا در فضایی که مشغول به کار هستیم یک مجموعه دلخواه از بردارهای پایه را انتخاب میکنیم مثلا از بین مجموعه های eₖ و e’ₖ و e”ₖ و… مجموعه eₖ را انتخاب میکنیم
2. با استفاده از فرمول زیر ضریب های بسط متعلق به بردار <A| را محاسبه میکنیم تا بتوانیم بردار ستونی ای که بردار <A| را نمایندگی میکند را تشکیل دهیم:

aₖ =<A|eₖ>

3. با استفاده از فرمول زیر ماتریکس اپراتور را تشکیل میدهیم:

Oᵢⱼ = <eᵢ|O|eⱼ>

4. ماتریکس اپراتور را در بردار ستونی ای که بردار <A| را نمایندگی میکند ضرب میکنیم. حاصل این عمل ضرب، یک بردار ستونی است که بردار <‘A| را نمایندگی میکند یعنی این بردار ستونی حاوی ضریب های بسط متعلق به بردار <‘A| است.
5. با استفاده از ضریب های بسط متعلق به بردار <‘A|، بردار <‘A| را بر اساس مجموعه بردارهای پایه انتخابی مان(همان eₖ) بسط میدهیم
6. اکنون همه جزئیات مربوط به بردار <‘A| را در اختیار داریم

همراهی
اعلان به عنوان
guest

0 Comments
بازخورد درونی
نمایش تمامی کامنت ها

اخبار و یادداشت ها

منجنیق چگونه کار میکند؟

منجنیق چگونه کار می کند

منجنیق چگونه کار می کند منجنیق ها کلاس درس فیزیک پایه هستند. هر کسی به خوبی می تواند ببیند که چطور با مفاهیم بسیار ساده ی فیزیک می شود ماشین

مطالعه بیشتر
این هفته، فیلم مورد انتظار اپنهایمر به سینماها می‌رسد که در آن کریستوفر نولان، کارگردان مشهور، روایت خود را درباره‌ی فیزیکدان نظری، رابرت اوپنهایمر، که در طول جنگ جهانی دوم پروژه منهتن را به راه انداخت تا اولین بمب اتمی را توسعه دهد، به تصویر می‌کشد. رابرت اوپنهایمر که در سال ۱۹۶۷ درگذشت، به عنوان یک رهبر کاریززماتیک، متفکر عمومی بلندپرواز و قربانی ترس از کمونیسم شناخته می‌شود که در سال ۱۹۵۴ به دلیل ارتباطات پیشین خود با کمونیست‌های مشکوک، مجوز امنیتی خود را از دست داد.

اوپنهایمر

جدا از فیلم هالیوودی، اوپنهایمر چقدر فیزیکدان خوبی بود؟ این هفته، فیلم مورد انتظار اوپنهایمر به سینماها می‌رسد که در آن کریستوفر نولان، کارگردان مشهور، روایت خود را درباره‌ی فیزیکدان

مطالعه بیشتر

صوت و سرعتش

صوت و سرعتش اصوات در همه جا قرار دارند. هرجایی که شما بتوانید دو تا چیز را با هم برخورد دهید، صدا دریافت می کنید. امروزه ما در موارد بسیاری

مطالعه بیشتر

ترمودینامیک و ظرفشویی

ترمودینامیک و ظرفشویی ترمودینامیک به کمک شستن ظرف ها و نجات کره ی زمین می آید. اغلب، ماشین های ظرفشویی معمولی تمامی ریزجانداران های مضر مانده در بشقاب ها، کاسه

مطالعه بیشتر
مدار سری و موازی

مدار سری و موازی

مدار سری و موازی امروزه حوزه ی الکترومغناطیس شاید فعال ترین شاخه ی فیزیک است.نمی توان با اطمینان گفت جذاب ترین ولی قطعا پر مسئله ترین حوزه نیز همین حوزه

مطالعه بیشتر
بازی زندگی

بازی زندگی کانوی

بازی زندگی کانوی اکثر فلاسفه و دانشمندان معتقد بوده و هستند که زندگی پیچیده است. و قوانین پیچیده ای دارد. شاید شما هم تا کنون با آن ها هم عقیده

مطالعه بیشتر
دلنوشته های داوینچی راجع به کنکور مسائلی جبران ناپذیر و زیان ده، نا عدالتی، از اصل افتادن، نقد های ما را از دست ندهید همین الان به صفحه بیایید

کنکور، آزمون مرگ

کنکور آزمون مرگ بازار نتایج کنکور داغ است و بهانه ی خوبی برای به رینگ بردن این غول عاری از منطق. انتخاب احمق ترین فرد دنیا راحت نخواهد بود. همانطور

مطالعه بیشتر
ماده ی تاریک کاندید جدیدی به نام اکسیون دارد

اکسیون، قلب ماده ی تاریک

یک قدم نزدیک تر به ماده ی تاریک دانشمندان استرالیایی در شرف حل یکی از رمز و راز های عالم، ماده ی تاریک. آزمایش ارگان (ORGAN) اولین آشکارساز بزرگ ماده

مطالعه بیشتر
اولین تصویر ابر تلسکوپ جیمز وب طلوع عصر جدیدی را درشاخه ی نجوم و اخترفیزیک رقم زد.

جیمز وب، درگاه زمان

جیمز وب : به سوی بینهایت و فراتر از آن اولین تصویر ابر تلسکوپ جیمز وب طلوع عصر جدیدی را درشاخه ی نجوم و اخترفیزیک رقم زد. با این تکنولوژی

مطالعه بیشتر
بوزون هیگز ده ساله شد

بوزون هیگز ده ساله شد

بوزون هیگز ده ساله شد بزون هیگز ده ساله شد: دیشب یعنی 13 تیر 1401 سالگرد کشف ذره ی هیگز معروف به ذره خدا در آزمایشگاه سرن اروپا بود. اهمیت

مطالعه بیشتر
0
اگه دوست داشتید کامنت بگذاریدx